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七、数的整除特征(一)


   作者:蓝忠诚 发表时间-11 :10:50  阅读( 15 )| 评论( 0 )

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七、数的整除特征(一)

  小学数学课本中曾介绍过数的整除特征,即若一个自然数的个位数字是0、2、4、6、8时,那么这个数一定能被2整除;若一个自然数的个位数字是0、5时,这个数一定能被5整除;若一个自然数的各个数位上的数字和是3的倍数,这个数一定能被3整除.

  由上面提到的整除特征我们知道,92和56都能被2整除,92与56的和、差(分别为148和36)也能被2整除.另外56=7×8,2能整除8,所以2也能整除56.还有2、3和4都能整除12,那么2和3的积6也能整除12,但是2和4的积8不能整除12.把上面这些具体的事例一般化,就可得到数的整除的几个重要的性质(严格来讲,下面的性质只有经过严密的数学逻辑证明才能予以承认).

性质1 如果数a、b都能被数c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除.

性质2 如果数a能被数b整除,c是整数,那么积ac也能被b整除.

性质3 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.

性质4 如果数a能同时被数b、c整除,而且b、c互质,那么a一定能被积bc整除.

  下面通过几个例子向同学们再介绍几个数的整除特征.

例1 在□内填上适当的数字,使六位数43217□能被4(或25)整除.

分析与解 43217□的个位数字现在不知是几,先假设它为x,那么43217

=4321×100,100=4×25,所以4和25都能整除100,根据整除的性质,432100能被4、25整除.如果43217x能被4(或25)

  

除,那么43217x也一定能被4(或25)整除.

  

  因为72和76都是4的倍数,所以六位数432172和432176能被4整除.

  因为75是25的倍数,所以432175能被25整除.

  通过这个例题,我们得到一个数能被4(或25)整除的特征是:

如果一个自然数的末两位数能被4(或25)整除,那么这个自然数就能被4(或25)整除,否则这个数就不能被4(或25)整除.

例2 在□中填上合适的数字,使七位数4786□7□能被125(或8)整除.

分析与解 设七位数的百位数字和个位数字分别为x、y,那么4786□



 

375,500,625,850,975这八种情况,只有375、975满足要求.

  …,104,112,…,176,184,…,272,…,376,…,472,…,576,…,672,…,776,…,872,…,976,984,992这125种情况.只有072,176,272,376,472,576,672,776,872,976这十个数满足要求.

  因为375、975是125的倍数,所以七位数4786375和4786975能被125整除.

  因为072,176,272,376,472,576,672,776,872,976是8的倍数,所以4786072,4786176,4786272,478376,4786472,4786576,4786672,4786776,4786872,4786976能被8整除.

  通过这个实例,我们得到一个数能被8(或125)整除的特征是:

如果一个自然数的末三位数能被8(或125)整除,那么这个自然数就能被8(或125)整除,否则这个数就不能被8(或125)整除.

例3 在□内填上合适的数字,使五位数4□32□能被9整除.

分析与解 同例1、例2,先设五位数4□32□的千位上、个位上□内的数字分别为x、y,那么

   4□32□=40000+x×1000+300+20+y

  =4×(9999+1)+x×(999+1)+3×(99+1)+2×(9+1)+y

  =4×9999+999x+3×99+2×9+4×x+3+2+y

  =9×(1111×4+111x+11×3+2×1)+(4+x+3+2+y)

  不论x是什么数字,9一定能整除9×(1111×4+111x+11×3+1×2).



  4+x+3+2+y能被9整除,这个和只能是9、18、27三种情况.当4+x+3+2+y=9时,x=y=0;当4+x+3+2+y=18时,x+y=9,这时有x=0,1,2,3,…,9,对应的y=9,8,7,…,2,1,0;当4+x+3+2+y=27时,x+y=18,这时x=y=9.

  因为9是9的倍数,所以40320能被9整除.

  因为18是9的倍数,所以40329,41328,42327,43326,44325,45324,46323,47322,48321,49320能被9整除.

  因为27是9的倍数,所以49329能被9整除.

  通过这个实例,我们得到一个数能被9整除的特征是:

如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除,那么这个数就能被9整除,否则这个数就不能被9整除.

例4 在□里填上适当的数字,使七位数□1992□□能同时被9、25、8整除.

分析与解 要求七位数□1992□□能同时被9、25、8整除,先考虑能被25整除这个条件.当七位数□1992□□能被25整除时,它的十位和个位数字组成的数只能是00,25,50,75.再考虑第二个条件,□1992□□能被8整除,当□1992□□能被8整除时,它的末三位上数字组成的数必须是8的倍数,但200,225,250,275这四个数中,只有200这个数是8的倍数,所以七位数的十位与个位□内只能填0.最后考虑第三个条件,被9整除.□199200要被9整除,其各个数位上的数字和必须是9的倍数,而1+9+9+2+0+0=21,所以七位数百万位□内只能填6,这样便找到了问题的解答.

  首先因为200既是25的倍数,又是8的倍数,所以□1992□□的十位与个位□内只能填0.

  因为1+9+9+2+0+0=21,而21+6=27,27是9的倍数,所以□1992□□的百万位□内只能填6.

  6199200能同时被9、25、8整除.

  解答这类问题时,要一个一个条件分别来考虑,然后通过枚举和筛选找出符合要求的解答来.

例5 把1至1997这1997个自然数依次写下来,得一多位数123456789101112…199519961997,试求这个多位数除以9的余数.

分析与解 从例4最后得到的一个数能被9整除的特征可以知道:一个自然数除以9的余数,等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数.这一来上面求多位数除以9的余数问题,便转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少的问题.这个问题的求法有很多,下面分别加以介绍.

  因为1至9这9个数字之和为45,所以10至19,20至29,30至39,…,80至89,90至99这些十个数各数位上数字和分别为:45+10,45+20,45+30,45+40,…,45+80,45+90.这一来,1至99这99个自然数各数位数字和为:

  45+55+65+…+125+135=900

  因为1至99这99个自然数各数位上数字和为900,所以100至199,200至299,…,800至899,900至999这些100个数各数位上数字和分别为900+100,900+200,…,900+800,900+900·这一来,1至999这999个自然数各数位上数字和为:

  900+1000+…+1700+1800=13500

  因为1至999这999个自然数各数上数字和为13500,所以1000至1999这1000个自然数各数位数字和为:13500+1000=14500,这一来1至1999这1999个自然数各数位数字和为:13500+14500=28000.1998、1999这两个数各数位上数字和为:27、28.28000-27-28=27945,9能整除27945,故多位数除以9余0.

  另外还有一个较为省事的求和方法,将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配分成如下的1000组:

  (0,1999),(1,1998),(2,1997),(3,1996)

  (4,1995),(5,1994),(6,1993),(7,1992)

  ……

  (996,1003),(997,1002),(998,1001),(999,1000)

  以上每一组两数之和都是1999,并且每一组两数相加时都不进位,这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于:

  (1+9+9+9)×1000=28000

  其余的与上面提到的相同,故从略.

  本题还有另外一种解法.因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数,一定能被9整除.而从1至1997一共有1997个数,1997÷9=221……8,1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997这8个数所有数位上数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=360,360能被9整除,所以多位数除以9余0,与前面的结果相同.

  为什么依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢?这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字和除以9的余数,必定是0,1,2,…,7,8这九个数,而这九个数的和为36,36能被9整除,所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数也一定能被9整除.


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