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八、数的整除特征(二)


   作者:蓝忠诚 发表时间-16 :34:51  阅读( 20 )| 评论( 0 )

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八、数的整除特征(二)

  上一讲我们介绍了一个数能被2、5;4、25;8、125;3、9整除的特征,这一讲我们继续讨论一些有关问题.请看下面例题:

   4239235

  =4000000+200000+30000+9000+200+30+5

  =4×(999999+1)+2×(100000+1-1)+3×(9999+1)+9×1000+1-1)

   +2×(99+1)+3×(10+1-1)+5

  =4×999999+4+2×(99990+11-1)+3×9999+3+9×(990+11-1)+2

   ×99+2+3×(11-1)+5

  =(4×999999+2×99990+2×11+3×9999+9×990+9×11+2×99+3

   ×11)+(4+3+2+5)-(2+9+3)

  上式第一个括号内的每一个数都能被11整除,所以它们的和也能被11整除.如果4239235能被11整除,那么(4+3+2+5)-(2+9+3)也能被11整除.反过来,如果(4+3+2+5)-(2+9+3)能被11整除,那么4239235也能被11整除.而上式第二个括号内的各数正好是4239235的奇数位上的四个数字,第三个括号内的各数正好是4239235的偶数位上的三个数字,从而我们便得到一个数被11整除的特征是:

如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除,那么这个数便能被11整除.否则这个数便不能被11整除.

  一个数被11整除还有另外一个特征:

如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11713)整除,那么这个数就能被11713)整除,否则这个数就不能被11713)整除.

1 将1,2,3,…,30从左到右依次排列成一个51位数123456…2930,试求这个51位数除以11的余数.

分析与解前面指出一个数被11整除的特征是:这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除.从这个特征的导出过程中我们还可以看出:一个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差除以11的余数,与原数除以11的余数是相等的.利用这一性质便可求出问题的结果来.

  因为51位数123456…282930的奇数位上的数字分别是0,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,9,7,5,3,1,这些数字之和为:

  1+3+5+7+9+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×2=115

  这个数的偶数位上的数字分别是3,2,2,2,2,…,2,1,1,…,1,8,6,4,2,这些数字之和为:

  2×10+1×10+3+8+6+4+2=53

  115-53=62,62÷11=5……7

  所以这个51位数除以11的余数是7.

  此题恰巧是奇数位上的数字和大于偶数位上的数字和,所以计算起来比较方便,如果有一个18位数919293949596979899,问这个数除以11的余数是几?

  上述18位数奇数位上的数字和为(9+8+7+6+5+4+3+2+1=)45,偶数位上的数字和为(9×9=)81.现在是偶数位上的数字和大于奇数位上的数字和,81-45=36,36÷11=3…3.应该怎么计算呢?请同学们动脑筋想一想,告诉你们答案为8,即上述那个18位数除以11余8.

2 将1至9这九个数字,按图1所示的次序排成一个圆圈.请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如,在1和7之间剪开,得到两个九位数是193426857和758624391).如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除,那么剪开处左右两个数字的乘积是几?

分析与解396=4×9×11,而4、9、11两两互质,根据前面提到的有关整除的性质,考虑被396整除,只要分别考虑被4、9、11整除就行了.

  前面提到如果一个数的各个数位上的数字和是9的倍数,那么这个数一定能被9整除.现在无论从哪两个数字之间剪开,按顺时针或逆时针次序所得到的两个九位数,其各个数位上的数字和,都是1至9九个数字之和45,45能被9整除,因此两个九位数一定能被9整除,那么这两个九位数之差当然也能被9整除.

  再考虑除以11的情况.考虑一个数能否被11整除,只要考虑这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差除以11的余数.现在无论从哪两个数字之间剪开后所得到的两个九位数,它们数字的顺序恰好是互相颠倒的,因此这两个九位数的奇数位上数字和与偶数位数字和之差是完全一样的,换句话说,这两个九位数除以11的余数相同,从而它俩的差一定能被11整除.

  最后考虑所得两个九位数之差能否被4整除.从一个数能被4整除的特征可以知道,只要这两个九位数的末两位数字组成的两位数之差能被4整除,那么这两个九位数的差一定能被4整除.因此只需考虑:剪开处左面两个数字组成的两位数与右面两个数字颠倒顺序后组成的两位数之差能否被4整除.只要这个差能被4整除,所得两个九位数之差就能被396整除,否则就不能被396整除.

  在1与9之间剪开:71-39=32,32能被4整除.

  在9与3之间剪开:43-19=24,24能被4整除.

  在3与4之间剪开:93-24=69,69不能被4整除.

  在4与2之间剪开:62-34=28,28能被4整除.

  在2与6之间剪开:86-42=44,44能被4整除.

  在6与8之间剪开:58-26=32,32能被4整除.

  在8与5之间剪开:75-68=7,7不能被4整除.

  在5与7之间剪开:85-17=68,68能被4整除.

  在7与1之间剪开:91-57=34,34不能被4整除.

  因此本题共有下面六个答案:

  1×9=9,9×3=27,4×2=8,

  2×6=12,6×8=48,5×7=35.

3 下面是某校购买72张课桌和77把课椅的发票.由于不小心浸水,烘干后发票上的一些数字都模糊不清了,每一个模糊不清的数字用□表示,请恢复发票中注有□的数字.

 





则有a2+b2=7,a2+b2=16.又因由a2≥7,所以当a2+b2=7时,有a2=7,b2=0;当a2+b2=16时,有a2=7、8、9,b2=9、8、7.这一来课桌的总价可以是70776分,79776分,88776分,97776分.



  70776+32879=103655,79776+32879=112655,88776+32879=121655,97776+32879=130655,这四个和里只有103655符合要求,所以课桌的总为70776分,70776÷72=983,课桌的单价为983分,恢复后的发票如下:



 

4 在□内填上合适的数字,使六位数□1991□能被66整除.

分析与解用x、y分别代表六位数□1991□的十万位与个位上□内的

  下面分别加以讨论.



否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为1、4、7,都不能被11整除,所以y=0时此题无解.

  

519912、819912这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为0、3、6,只有0能被11整除,所以219912能被66整除.

  

619914、919914这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为1、2、5,都不能被11整除,所以y=4时此题无解.

  
419916、719916这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为5、2、1,都不能被11整除,所以y=6时此题无解.

  
519918、819918这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为6、3、0,只有0能被11整除,所以819918能被66整除.

  只有19911991这两个数能被66整除.

  从例2到例4的解答中,我们看到掌握“如果一个数能被几个两两互质数中的每一个数整除,那么这个数也能被这几个两两互质数的乘积整除.反过来,如果一个数能被几个两两互质数的乘积整除,那么这个数也能同时被这几个两两互质的数整除”这一结论,对解决一些有关整除的问题,带来了很大的方便,并能在解题过程中,锻炼和培养我们分析问题与解决问题的能力.


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