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九、最大公约数与最小公倍数


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :15:20  阅读( 13 )| 评论( 0 )

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九、最大公约数与最小公倍数

  我们知道,如果一个自然数a能被自然数b整除,则称a为b的倍数,b为a的约数.几个自然数公有的约数,叫做这几个自然数的公约数.公约数中最大的一个公约数,称为这几个自然数的最大公约数.一般用符号(a,b)表示a、b的最大公约数,例如(8,12)=4,(4,6,10)=2.常用的求最大公约数的方法是分解质因数法和短除法.几个自然数公有的倍数,叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最小的一个大于零的公倍数,叫这几个数的最小公倍数.一般用符号[a,b]表示a、b的最小公倍数,例如[8,12]=24,[2,6,5,]=30.下面讨论几个与最大公约数和最小公倍数有关的问题.

1 将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料,锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时,用料最省且小木块的体积总和最大?(不计锯时的损耗,锯完后木料不许有剩余)

分析与解假设锯完后小木块的边长为a,那么把锯得的所有小木块堆起来,适当组合以后一定可以堆成原来长方体木料的形状.这就是说3.57、1.05、0.84都是小木块边长a的倍数,反过来说a就是3.57、1.05、0.84的公约数.另外还要求小木块体积最大,也就是要求小木块的边长a最大.所以a是3.57、1.05、0.84三个数的最大公约数.

  因为3.57米=357厘米,1.05米=105厘米,0.84米=84厘米,又



  所以 a=(357,105,84)=3×7=21.

  当小木块边长为21厘米时,其体积最大.





4500毫米,当它跳了若干次时,恰好跳到离起点的路程为12375毫米的倍数,便会掉进陷阱.所以要求狐狸何时掉进陷阱,就要先求4500与12375的最小公倍数.



  [4500,12375]=53×32×22×11=49500

  49500÷4500=11,即狐狸从起点开始跳11次后第一次掉进陷阱.

  另外



  [2750,12375]=2×32×53×11=24750

  24750÷2750=9,即黄鼠狼从起点开始跳9次后第一次掉进陷阱.

  9小于11,所以黄鼠狼比狐狸先掉入陷阱.当黄鼠狼第一次掉进陷阱时,狐狸跳了

3 写出小于20的三个自然数,使它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质.

分析与解为方便起见,我们用a、b、c表示所写的三个自然数,那么a、b、c应满足以下条件:

  a、b、c都是小于20的自然数,(a,b,c)=1,同时(a,b)>1,(a,c)>1,(b,c)>1.

  从条件(a,b,c)=1出发,很容易得出a、b、c三个数不能同时取偶数.

  从条件(a,b)>1,(a,c)>1,(b,c)>1出发,也很容易发现a、b、c三个数也不能同时在1,2,3,5,7,11,13,17,19中分别取值.另外a、b、c三个数中的任一个不能取20以内的质数.如果假设a是质数,为保证(a,b)>1,(a,c)>1,那么b、c都应是a的倍数,即b=aq1,c=aq2,这一来(a,b,c)=a>1,与(a,b,c)=1矛盾.

  另外a、b、c三个数中的任意两个数,其中一个不能是另一个的倍数.如果a是b的倍数,那么有(a,b)=b.为保证(b,c)=d>1,便有(a,b,c)=d>1,与(a,b,c)=1矛盾.

  通过上面分析我们可以看出,a、b、c三个数只有两种可能:一是两偶一奇,一是两奇一偶,且这里的奇数不能是1和质数.

  先来讨论两奇一偶的情况.20以内的奇数除了1和质数外,只有9和15两个数,20以内的偶数除了2之外,还有4,6,8,10,12,14,16,18八个数.因为18是9的倍数,而(9,15)=3,所以偶数不能取18.又因为(9,4)=1,(9,10)=1,(9,14)=1,(9,16)=1,所以偶数不能取4、10、14、16,只剩下6和12这两个偶数,但是(6,9,15)=3,(12,9,15)=3,与(a,b,c)=1矛盾,故两奇一偶的情况不会出现.

  再来研究两偶一奇的情况.一个奇数如果是9,根据上面的分析,另外的两个偶数不能是4、10、14和16,而18又是9的倍数,也不行,只剩下6和12,而(6,9,12)=3,与(a,b,c)=1矛盾,故奇数是9时无答案.

  当一个奇数是15时,因为(4,15)=1,(14,15)=1,(15,16)=1,所以偶数不能取4、14、16.只剩下6、10、12、18这四个偶数.又因为12、18是6的倍数,所以两个偶数不能取6、12或6、18.这一来只有6、10;10、12;10、18;12、18这四种情况,而(12,15,18)=3,与(a,b,c)=1矛盾,所以只有三种情况.

  因为(6,10)=2,(6,15)=3,(10,15)=5,(6,10,15)=1;(10,12)=2,(12,15)=3,(10,15)=5,(10,12,15)=1;(10,15)=5,(10,18)=2,(15,18)=3,(10,15,18)=1,所以满足要求的a、b、c只有下面三组:

  {6,10,15},{10,12,15},{10,15,18}

  此题还可以这样想,因为a、b、c是小于20的合数,所以它们分解质因数后只能含有质因数2、3、5、7.按照题目的要求将2、3、5、7适当搭配,可得下面结果:

  2×3, 2×5, 3×5;

  22×3, 2×5, 3×5;

  5×3, 2×5, 2×32.

  这与上面结果相同.

4 已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000,满足上述要求的数组{a,b,c}共有多少组?

分析与解已知当a能被b整除时,有[a,b]=a.现在我们先固定a、b、c三个数中的某两个,看第三个数有多少种可能性.先让a=1000,c=2000,只要b是1000的约数,便有[a,b]=1000,[b,c]=2000,[a,c]=2000.因为1000=23×53,b又是a的约数,a的约数有[(3+1)×(3+1)=]16个,即b有16种可能,所以这样的数组有16组.再让b=1000,c=2000,这时只要a是1000的约数,题目中的条件都满足,去掉与上面16种中相同的一种a=b=1000,c=2000,又有15(=16-1)组.

  再看a、b、c三个数中固定一个数的情况.

  让c=2000,为保证满足题目中的要求:[a,c]=2000,[b,c]=2000,a、b均应为2000的约数.为了使[a,b]=1000,而1000=23×53,所以a=23×5n,b=53×2m.为去掉a=b=1000这一种情况,n可以取0、1、2三个值,m也可以取0、1、2三个值,即a可以是8、40、200这三个数,b可以是125、250、500这三个数.所以这样的数组有(3×3=)9组,交换a、b又有9组.当c=2000时,这样的数组共有18组.

  再让a=1000,为保证题目中的条件得到满足,即[a,b]=1000,[a,c]=2000,[b,c]=2000,且不与上面已有的数组重复.又因为1000=23×53,2000=24×53,故应有b=2n×53,c=24×5m.这里n可以取0、1、2、3四个数,m可以取0、1、2三种数,即b可以是125、250、500、1000这四个数,c可以是16、80、400这三个数,此时这样的数组共有(4×3=)12组.

  再让b=1000,为保证题目中的条件[a,b]=1000,[a,c]=2000,[b,c]=2000得到满足,且不与上面已有的数组重复,根据1000=23×53,2000=24×53,故应有a=2n×53,c=24×5m.这里n只能取0、1、2三个数,m可以取0、1、2三个数,即a可以是125、250、500这三个数,c可以是16、80、400这三个数,此时这样的数组共有(3×3=)9组.

  把上述各种情况下的组数相加,便是所求的答案.

  满足要求的a、b、c数组共有:

  16+15+18+12+9=70

  注意:这里125,1000,16和1000,125,16算两组.


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