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十、一个从短除法引出的问题


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :13:49  阅读( 43 )| 评论( 0 )

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十、一个从短除法引出的问题

  短除法是求几个数的最大公约数与最小公倍数的常用方法之一.如求(36,24)=?



  这里,36=2×2×3×3,24=2×2×3×2,而(36,24)=2×2×3,[36,24]=2×2×3×3×2.如果把(36,24)与[36,24]相乘,便有:

   (36,24)×[36,24]=(2×2×3)×(2×2×3×3×2)

  =(2×2×3×2)×(2×2×3×3)

  =36×24

  当36,24换作其他的自然数时,类似于(36,24)×[36,24]=36×24的结论依然存在.从这里我们引出一个很重要的结论:

两个自然数的最大公约数与它们最小公倍数的乘积,等于这两个自然数的乘积.

  用式子表示则变为:

  

  下面用这一重要的结论来做几个题,以加深对这个结论的理解.

1 已知甲、乙两数的最大公约数是6,最小公倍数是36,求甲、乙两数.

分析与解我们知道用分解质因数方法求两个数的最大公约数时,这两个数的最大公约数是这两个数所有公共的质因数的连乘积.这里最大公约数是6,6=2×3,所以甲、乙两个数应同时包含2和3.又因为甲、乙两数的最小公倍数是36,36=2×2×3×3,去掉甲、乙共有的一个2和一个3外,还剩下一个2和一个3.这一个2和一个3不能同时包含在甲、乙两数之中,否则它们的最大公约数就不是6,而比6大.故这一个2和一个3必须分别包含在甲、乙两数之中.把它们分配给甲、乙有下面几个方案:



  对应以上几个方案,甲、乙的值分别对应如下:



  现在我们利用结论(a,b)×[a,b]=ab来寻找此题的另一种解法.

  因为(甲,乙)=6,所以甲=6q1,乙=6q2,这里(q1,q2)=1.

  因为(甲,乙)×[甲,乙]=甲×乙,[甲,乙]=36,所以6×36=6q1×6q2,即q1×q2=6,6=1×6=2×3.

  当q1=1,q2=6时,甲=6,乙=36,反过来甲=36,乙=6.

  当q1=2,q2=3时,甲=12,乙=18,反过来甲=18,乙=12.

  故甲、乙两数分别为6、36和12、18.

  这样得到的结果与上面得到的结果一样,当两数的最大公约数与最小公倍数变大时,后一种方法比前一种方法要稍简便一些.

2 已知两个自然数的和为104055,它们的最大公约数是6937,求这两个数.

分析与解为了方便,用a、b表示这两个自然数.这样便有

  a+b=104055,(a,b)=6937.

  根据有关整除的结论有:

  a=(a,b)q1=6937q1

  b=(a,b)q2=6937q2,(q1,q2)=1.

  将此两式代入a+b=104055得:

  6937q1+6937q2=104055,

  6937(q1+q2)=104055,

  q1+q2=104055÷6937=15.

  因为q1、q2互质,所以q1、q2只有以下四种可能:(1,14),(2,13),(4,11),(7,8).代入求出a、b有如下四组答案:

  

  

3 已知两数的和是60,它们的最大公约数与最小公倍数之和是84,求此两数.

分析与解为方便起见,用a、b表示所求的两数.按题目的条件,有下面的式子:

  a+b=60,(a,b)+[a,b]=84.

  因为a=(a,b)q1,b=(a,b)q2,(q1,q2)=1,所以(a,b)q1+(a,b)q2=60,即(a,b)(q1+q2)=60.

 



  

84同时是(a,b)的倍数.换句话说,(a,b)是60、84的公约数.又因为



  所以(60,84)=12.这一来(a,b)只能是1,2,3,4,6,12这六个数中的某一个.通过试验法便可求出a、b的值来.

  当(a,b)=1时,从(a,b)(q1+q2)=60可知q1+q2=60.从(a,b)(1+q1q2)=84可知1+q1q2=84,即q1q2=83.83=1×83,1+83=84≠60,此时无解.

  当(a,b)=2时,从(a,b)(q1+q2)=60可知q1+q2=30.从(a,b)(1+q1q2)=84可知1+q1q2=42,即q1q2=41,41=1×41,1+41=42≠30,此时无解.

  当(a,b)=3时,从(a,b)(q1+q2)=60可知q1+q2=20.从(a,b)(1+q1q2)=84可知1+q1q2=28,即q1q2=27,27=1×27,1+27=28≠20,此时无解.

  当(a,b)=4时,从(a,b)(q1+q2)=60可知q1+q2=15.从(a,b)(1+q1q2)=84可知1+q1q2=21,即q1q2=20,20=20×1=4×5,20+1=21≠15,4+5=9≠15,此时也无解.

  当(a,b)=6时,从(a,b)(q1+q2)=60可知q1+q2=10.从(a,b)(1+q1q2)=84可知1+q1q2=14,即q1q2=13,13=1×13,1+13=14≠10,此时无解.

  当(a,b)=12时,从(a,b)(q1+q2)=60可知q1+q2=5.从(a,b)(1+q1q2)=84可知1+q1q2=7,即q1q2=6,6=1×6=2×3,1+6=7≠5,2+3=5.这时有解.

  当q1=2,q2=3,(a,b)=12时,a=24,b=36,反过来a=36,b=24.

  所以满足要求的两数为24和36.

4 已知两个自然数的平方和是468,它们的最大公约数与最小公倍数的和是42,求此两数.

  分析与解用a、b表示所求两数,便有a2+b2=468,(a,b)+[a,b]=42.另外还有a=(d,b)q,b=(d,b)q2,(q1,q2)=1.

  

  (a,b)+(a,b)q1q2=42

  即(a,b)(1+q1q2)=42,因为1+q1q2是整数,所以(a,b)是42的约数.另外[(a,b)q1]2+[(a,b)q2]2=468,所以(a,b)2是468

  42的约数有1,2,3,6,7,14,21,42.当(a,b)分别为1,2,3,6,7,14,21,42时,(a,b)2分别为1,4,9,36,49,196,441,1764.但只有1,4,9,36能整除468,所以(a,b)只能取1,2,3,6.

  

个质数,所以q1、q2分别为1和41,但是12+412=1+1681>468.此时无解.

  

×20=4×5,所以q1、q2只有两种取值可能.当q1、q2分别为1和20时,202=400>117,不可能.当q1、q2分别为4和5时,42+52=16+25=41≠117.此时也无解.

  

6=2×3,所以q1、q2有两种取值可能.当q1、q2分别为1和6时,62=36>13,不可能;当q1、q2分别为2和3时,22+32=13.此时有解.

  所以仅当(a,b)=6,q1、q2分别为2、3时有解.此时两数分别为12和18


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